Algebraic Geometry
今、空間論をするのであれば、圏論を皮切りにして、∞圏、つまりは、
Lurie や Cisinski , Shulman らが Higher Categoty で描く Simplicial Set をベースにして考えるのが常識である。
柔らかい幾何学「 Topology 」とよばれるものは、20世紀後半に、Quillen により、
モデルが構築されたことにより、圏論の枠組みで、幾何学を行うこととなった。
2013 年、Voevodsky により、Homotopy Type Theory が定式化され、
トポロジーをはじめる最も簡単な方法として、ラムダ計算の型を関数空間とみたてた一般論が可能になった。
Hom Type の一般化である fibration と Product Type の一般化である cofibration を考えることで、
柔らかい幾何学をすることができる。
fibration の最も簡単なものとして、
例えば、bundle 束 という概念を導入することでうまれた積空間（積束）からの射影 projection のことをいう。
fibration の一般化が生まれた課程は、
Chern 類と呼ばれる、product bundle では捉えきれない障害類の出現に端を発する。
例えば、$p: S^3 \to S^2$ などは、大域切断
$S^2$ を Base Space と呼ぶ。
fibration は Base Space から、fiber bundle への関数であり、
より厳密に、関数の一般化である。
同様に、積空間の一般化として、cofibartion を考える
fibration と cofibration を考えることにより、
Quillen の示した通り、Model 理論が構築できる。
また、Lawvere に端を発する Topos において、fibration と cofibration は、
∀と∃の役割をはたす。
これらの枠組みで捉えきれない不安定ホモトピー論に関しては、
例えば複素幾何などを、用いるのがよい。
# 零点集合 variety
もう少ししっかりとした幾何学をしよう。
多項式で表される式 $f(x,y)$ が $0$ をとるような点の集合を零点と呼ぶ。
これが、現代数学における最も重要な基盤である、代数多様体 variety である。
グロタンディークは、連結で閉じた variety を素イデアルとみなして、
今までの代数幾何学をスキーム論で書き直したばかりでならず、
論理学を幾何的にとらえるための基盤を圏の言葉を使用して書き直したことは、
フランスではおそらく当たり前の話であろう。
variety とは、数式 f(x,y,z) の零点集合、つまり、３次元で言えば
f(x,y,z) = 0 を満たす点の集合（のうち既約なもの）である。
# Projective Plane
射影平面の定義から入ろう。
球面 $ S^2 $ を思い浮かべてほしい。
射影平面は、「ひとつの半球面」だと考えればよい。
定義に入る。
$ x,y,z $ を座標とする。
射影平面とは、「３次元空間内の原点を通る直線の集合」である。
つまり、「アフィン空間上の原点を通る直線」を、射影平面上のひとつの「点」とみなす。
つまり、$ (a,b,c) $ と $(ka,kb,kc)$ は同じ点を表している。
射影平面が「ひとつの半球面」 というのは、
ひとつの直線つまりは、射影平面上の「点」をあらわすのに、
絶対値が１となるような点を代表として選んだわけだ。
射影平面上の零点集合は、
$(x,y,z)$ 上の値と、 $(kx,ky,kz)$ 上の値が同じものでないといけない。
よって、
$x^3 + y^2 z - x z^2 = 0$ のように、
それぞれの項の次数が 3 と一致していないといけない。
# Rational Maps
# Coordinate Rings and Sheaves
座標環と層の話。
# 因子論 / 線形系 Linear System
If you study complex analysis, it is easy to comprehend that functions on it is represented by linearity over solutions (zero points).
# Scheme
(on the correspondence between Algebraic Varieties and Ideals)
Scheme is just a copresheaf over Mod(R).
We can embed the case with finite field into that with complex plain.
...
(The details are under construction)
# Field $\to$ Rng $\to$ Category
Field 上のガロア群の理論から、擬環の射である被覆を考えることによって、
環上の加群の理論を豊かにしたものがガロア理論と呼ばれるものである。
さらには、それらは、Psh上で、group object を考えることで、非常に良い性質をもった圏の枠組みにおいて、
現代ガロア理論を展開することができる。この恩恵により、コンピュータサイエンスの低級言語、高級言語をはじめ、様々な分野へ、
ガロア理論が応用される時代となった。