2 infinities
# Dedekind Infinite
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在すること
# Infinite
集合A が無限であるとは、ある自然数n について{0,1,2,..., n -1}という形の集合である有限順序数とA の間に全単射が存在しないこと
# the diff
19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性の証明は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。
# From [blog] Shiny Pebbles and other stuff
## Cantor and infinity in a countable universe
- given a set : $ S $
- an obvious injection : $ i $ : $ S \to \mathscr{P} (S) $
- we can think ; $ \mathbb{N} $ , $ \mathscr{P}( \mathbb{N} ) $ , $ \mathscr{P}( \mathscr{P}( \mathbb{N} ) ) $ , ...
- $ \mathscr{P}( \mathbb{N} ) $ ~ $ \mathbb{R} $
Function
- $ A \to B $ is a subset of $ A \times B $
## Russel Paradox
- ZFC is a particular solution for the paradox
- we can describe a collection of objects (which we call sets) that seem to satisfy all the axioms.
- The study of particular collections of OBJECTs and OPERATIONs on them which satisfy particular sets of axioms is called "MODEL THEORY".
- We'll call a collection of sets that satisfy the axioms of ZFC a "UNIVERSE".
## Skolem's Paradox
- Downward Loewenheim-Skolem Theorem tells us that there is a countable universe that satisfies the axioms of ZFC.
- How does an uncountable set fit into a countable universe? - Skolem's paradox